社員がネット予約などで経費を立て替えた場合は、ネット上の領収書はどのように保存すればよいですか

社員が支払先から電子データによる領収書などを受領する行為が、会社の行為として行われた場合は、会社としての電子取引に該当するため保存が必要です。

以下の国税庁の資料をご参照ください。
電子帳簿保存法一問一答│国税庁の「【電子取引関係】問12」

また、紙で印刷してメモを記載したい場合は、元の電子データについて電子取引データの保存要件を満たして保存をしていれば、紙に印刷したものは社内データとして自由に利用できます。